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实内积空间

  • 定义：设 V 是实数域 R 上的线性空间，如果对 V 中任意向量 $\alpha$ 与 $\beta$，在 R 中都有唯一的实数与之对应，记作 $(\alpha, \beta)$，并对任意的$\alpha, \beta, \gamma \in V, k \in R$，这对应具有性质：
    • (1)$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$
    • (2)$(k \alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$
    • (3)$(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$
    • (4)$(\alpha, \alpha) \geq 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$，$(\alpha, \alpha) = 0$
    • 则称这对应是 V 的一个内积，具有这种内积的线性空间称为实内积空间或欧几里得(Euclid)空间
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$\lambda$-矩阵

元素是 $\lambda$ 的多项式的矩阵称为 $\lambda$-矩阵，记作 $A(\lambda) = (a{ij}(\lambda)){m*n}$；常数矩阵是其特殊形式

  • 定义：若 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 中不恒等于零的子式的最大阶数是r，则称 $A(\lambda)$ 的秩是r，记作 $rankA(\lambda) = r$

  • 定义：$\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的初等变换，指以下三种变换

    • (1)互换 $A(\lambda)$ 的第i行(列)与第j行(列)
    • (2)用一个不为零的数k称 $A(\lambda)$ 的第i行(列)
    • (3)用一个 $\lambda$ 的多项式 $\phi(\lambda)$ 乘 $A(\lambda)$ 的第j行(列)加到第i行(列)上
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线性空间

  • 定义：设 K 是给定的数域，V 是具有加法和数量乘法的非空集合，即对任何 $\alpha, \beta \in V, k \in K$，确定和 $\alpha + \beta \in V$，确定积 $k \alpha \in V$. 如果以下公理成立：
    • (1)对任何 $\alpha, \beta \in V$，有 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
    • (2)对任何 $\alpha, \beta, \gamma \in V$，有 $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
    • (3)对任何 $\alpha \in V$，在 V 中存在一个元素0，使 $\alpha + 0 = \alpha$，其中0称为 V 的零元素
    • (4)对于所有的 $\alpha \in V$，存在 $\beta \in V$，使 $\alpha + \beta = 0$，其中 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元素
    • (5)$1 \cdot \alpha = \alpha$
    • (6)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$，有 $k(l \alpha) = (kl)\alpha$
    • (7)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$，有 $(k + l)\alpha = k \alpha + l \alpha$
    • (8)对任何 $k \in K, \alpha, \beta \in V$，有 $k(\alpha + \beta) = k \alpha + k \beta$
    • 则称 V 是数域K上的线性空间
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n维向量空间 $K^n$

  • $K^n$ 表示 K 上所有n维向量的集合：向量空间

  • 定义：设 W 是 $K^n$ 的一个非空子集，如果对任何 $\alpha, \beta \in W, k \in K$，有 $\alpha + \beta \in W, k \alpha \in W$，则称 W 是 $K^n$ 的子空间

零向量形成 $K^n$ 的一个子空间，记作 {0}，和 $K^n$ 都称为 $K^n$ 的平凡子空间

  • 设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \in K^n$，则 $\alpha = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$ 称为 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 的线性组合(线性表示)
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矩阵运算

  • 定义：若 $A = (a{ij}) \in C^{m*n}$，则矩阵 $\overline A = ( \overline a{ij}){m*n}$，其中 $\overline a{ij}$ 是 a 的共轭复数，称为 A 的共轭矩阵；若 $A^{} = (a_{ji}^{}) = \overline A^{T}$，即 $a{ji}^{*} = \overline a{ij}(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)$，则矩阵 $A^{}$ 称为 A 的*共轭转置矩阵，有时记作 $A^{H}$

  • 定义：设 $A = R^{nn}$，如果 $A = A^{T}$，则 A 叫实对称矩阵，设 $B \in C^{nn}$，如果 $B = B^{H}$，则 B 称为埃尔米特(Hermite)矩阵

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