矩阵的若尔当标准形

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$\lambda$-矩阵

元素是 $\lambda$ 的多项式的矩阵称为 $\lambda$-矩阵，记作 $A(\lambda) = (a{ij}(\lambda)){m*n}$；常数矩阵是其特殊形式

  • 定义：若 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 中不恒等于零的子式的最大阶数是r，则称 $A(\lambda)$ 的秩是r，记作 $rankA(\lambda) = r$

  • 定义：$\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的初等变换，指以下三种变换

    • (1)互换 $A(\lambda)$ 的第i行(列)与第j行(列)
    • (2)用一个不为零的数k称 $A(\lambda)$ 的第i行(列)
    • (3)用一个 $\lambda$ 的多项式 $\phi(\lambda)$ 乘 $A(\lambda)$ 的第j行(列)加到第i行(列)上

$E_{ij}，Ei(k)(k \not= 0)，E{ij}(\phi(\lambda))$ 分别表达以上三种变换的初等矩阵

  • 定义：若 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 经过有限次初等变换变到 $\lambda$-矩阵 $B(\lambda)$，则称 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价，记作 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$

$\lambda$-矩阵间的等价关系也有自反性、对称性和传递性

  • 定理：设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r，则 $A(\lambda)$ 等价于对角形矩阵(矩阵$A(\lambda)$的标准形) $$\left[ \begin{matrix}
    d_1(\lambda) & & & & & & & & & & \
    & d_2(\lambda) & & & & & & & & & \
    & & . & & & & & & & & \
    & & & . & & & & & & & \
    & & & & . & & & & & & \
    & & & & & d_r(\lambda) & & & & & \
    & & & & & & 0 & & & & \
    & & & & & & & . & & & \
    & & & & & & & & . & & \
    & & & & & & & & & . & \
    & & & & & & & & & & 0
    \end{matrix} \right]$$
    其中 $d_1(\lambda)|d2(\lambda), …, d{r-1}(\lambda)|d_r(\lambda)$，且 $d_i(\lambda)(1, 2, …, r)$ 是首一多项式

  • 定义：设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r，于是对任何正整数k，只要 $1 \leq k \leq r$，$A(\lambda)$ 中必有非零的k阶子式存在，$A(\lambda)$ 中所有k阶子式的首一最高公因式，叫 $A(\lambda)$ 的k阶行列式因式，记作 $D_k^A{\lambda}$ 或 $\lambda_k(\lambda)$. 可见当 $A(\lambda)$ 中共有r个行列式因式 $D_1(\lambda), D_2(\lambda), …, D_r(\lambda)$

  • 定理：设 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 是两个 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$ 的充要条件是它们有相同的标准形

  • 定理：设 $A(\lambda)$ 与 $\B(\lambda)$ 是 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$

  • 定义：设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r，则 $A(\lambda)$ 的标准形中的 $d_1{\lambda}, d_2{\lambda}, …, \d_r(\lambda)$ 加 $A(\lambda)$ 的不变因子

  • 定理：设 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 是两个 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$

  • 定义：设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r，$d_1(\lambda), d_2(\lambda), …, d_r(\lambda)$ 是它的不变因子，在复数域内分别把它们分解成一次因式的幂的乘积，即 $$
    \begin{matrix}
    d_1(\lambda) = (\lambda - \lambda1)^{k{11}}(\lambda - \lambda2)^{k{12}}…(\lambda - \lambdas)^{k{1s}} \
    d_2(\lambda) = (\lambda - \lambda1)^{k{21}}(\lambda - \lambda2)^{k{22}}…(\lambda - \lambdas)^{k{2s}} \
    …… \
    d_r(\lambda) = (\lambda - \lambda1)^{k{r1}}(\lambda - \lambda2)^{k{r2}}…(\lambda - \lambdas)^{k{rs}} \
    \end{matrix}
    $$ 则所有的 $(\lambda - \lambdaj)^{k{ij}}(k_{ij} \geq 1)$ 称为 $A(\lambda)$ 的初等因子

  • 定理：设 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 是两个 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$ 的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子

  • 定理：设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的秩为r，且
    $$A(\lambda) \cong \left[ \begin{matrix}
    f_1(\lambda) & & & & & & & & & & \
    & f_2(\lambda) & & & & & & & & & \
    & & . & & & & & & & & \
    & & & . & & & & & & & \
    & & & & . & & & & & & \
    & & & & & f_r(\lambda) & & & & & \
    & & & & & & 0 & & & & \
    & & & & & & & . & & & \
    & & & & & & & & . & & \
    & & & & & & & & & . & \
    & & & & & & & & & & 0
    \end{matrix} \right] = B(\lambda)$$
    则 $f_1(\lambda), f_2(\lambda), …, \f_r(\lambda)$ 的所有一次因式的幂就是 $A(\lambda)$ 的全部初等因子

  • 定义：设 $A(\lambda)$ 是n阶 $\lambda$-矩阵，若存在n阶 $\lambda$-矩阵 $B(\lambda)$，使 $A(\lambda)B(\lambda) = B(\lambda)A(\lambda) = E$，则称 $A(\lambda)$ 为可逆矩阵，$B(\lambda)$ 是 $A(\lambda)$ 的逆矩阵

$\lambda$-矩阵的逆唯一，可逆$\lambda$-矩阵的乘积仍可逆；初等矩阵可逆，其逆仍为初等矩阵

  • 性质1：设 $A(\lambda)$ 是n阶 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件是 $|A(\alpha)|$ 为非零常数

  • 性质2：设 $A(\lambda)$ 是n阶 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件是 $A(\lambda)$ 与单位矩阵等价

  • 性质3：设 $A(\lambda)$ 是n阶 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件是 $A(\lambda)$ 可表成若干个初等矩阵的乘积

  • 定理：设 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 是两个 $\lambda$-矩阵，则 $A(\lambda) \cong B(\lambda)$ 的充要条件是存在可逆的 $\lambda$-矩阵 $P(\lambda)$ 和 $Q(\lambda)$，使 $P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda) = B(\lambda)$

特征矩阵

  • 定义：设 $A = (a{ij}){nn}$，则 $\lambdaE - A$ 称为 A 的*特征矩阵

  • 定理(凯莱-哈密顿定理)：设 $A \in K^{n*n}$，则 A 是其特征多项式的根，即有 $\Delta_A(A) = 0$

$\DeltaA(A) = A^n + a{n-1}A^{n-1} + … + a_1 A + a_0 E$

对任何矩阵A，至少存在一个非零的多项式 $f(\lambda)$ 使 $f(A) = 0$，具有此性质的多项式称为 A 的零化多项式($f(\lambda)$的任何倍式$g(\lambda)f(\lambda)$都是A的零化多项式)

  • 定义：在n阶矩阵A的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式，记作 $m_A(\lambda)$

A的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 是唯一的

  • 定理：设 $A \in K^{n*n}$，$f(\lambda)$ 是A的零化多项式，$m_A(\lambda)$ 是A的最小多项式，则 $m_A(\lambda)|f(\lambda)$. 特别地，$m_A(\lambda)|\Delta_A(\lambda)$

……

矩阵的若尔当标准形

  • 定理：设 A 是复数域上的n阶方阵，它的特征矩阵 $\lambda E - A$ 的初等因子为 $(\lambda - \lambda_1)^{m_1}, (\lambda - \lambda_2)^{m_2}, …, (\lambda - \lambda_s)^{m_s}$，则
    $$ A \sim J = \left[ \begin{matrix}
    J_1 & & & & & \
    & J_2 & & & & \
    & & . & & & \
    & & & . & & \
    & & & & . & \
    & & & & & J_s
    \end{matrix} \right]
    $$
    其中
    $$ J_i = \left[ \begin{matrix}
    \lambda_i & 1 & & & & & & \
    & \lambda_i & 1 & & & & & \
    & & . & .& & & & \
    & & & . & . & & & \
    & & & & . & . & & \
    & & & & & . & 1 & \
    & & & & & & \lambda_i & 1 \
    & & & & & & & \lambda_i
    \end{matrix} \right]
    (i = 1, 2, …, s)$$
    是 $m_i$阶方阵. 这J称为A的若尔当标准形，$J_i$ 称为对应于 $(\lambda - \lambda_i)^{m_i}$ 的若尔当块，并且这若尔当标准形除去诸 $J_i$ 的顺序外是被 A 唯一决定的

  • 定理：设 $\sigma$ 是数域 K 上n维线性空间 V 的线性变换，则在 V 中必存在一组基，使 $\sigma$ 对这基的矩阵是若尔当标准形，并且这若尔当标准形除去诸 $J_i$ 的顺序外是被 $\sigma$ 唯一决定的

  • 推论：复数域上的n阶方阵A与对角形矩阵相似的充要条件是，其特征矩阵 $\lambda E - A$ 的初等因子都是 $\lambda$ 的一次式

若尔当标准形与空间分解

……

引用

  1. 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社