线性空间与线性变换、特征值

发表于

线性空间

  • 定义：设 K 是给定的数域，V 是具有加法和数量乘法的非空集合，即对任何 $\alpha, \beta \in V, k \in K$，确定和 $\alpha + \beta \in V$，确定积 $k \alpha \in V$. 如果以下公理成立：
    • (1)对任何 $\alpha, \beta \in V$，有 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
    • (2)对任何 $\alpha, \beta, \gamma \in V$，有 $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
    • (3)对任何 $\alpha \in V$，在 V 中存在一个元素0，使 $\alpha + 0 = \alpha$，其中0称为 V 的零元素
    • (4)对于所有的 $\alpha \in V$，存在 $\beta \in V$，使 $\alpha + \beta = 0$，其中 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元素
    • (5)$1 \cdot \alpha = \alpha$
    • (6)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$，有 $k(l \alpha) = (kl)\alpha$
    • (7)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$，有 $(k + l)\alpha = k \alpha + l \alpha$
    • (8)对任何 $k \in K, \alpha, \beta \in V$，有 $k(\alpha + \beta) = k \alpha + k \beta$
    • 则称 V 是数域K上的线性空间

线性空间中的元素又称向量

线性空间的基本性质：

  • (1)线性空间的零元唯一
  • (2)线性空间的每个元的负元唯一
  • (3)$0 \alpha = 0, k 0 = 0, (-1)\alpha = - \alpha$
  • (4)若 $k \alpha = 0$，则 $k = 0$ 或 $\alpha = 0$

线性空间定义中规定的两种代数运算并没有具体给出，一般由具体问题指定
零元不一定是数零，$\alpha$ 的负元不一定是 $-\alpha$

子空间

  • 定义：设 W 是数域 K 上线性空间 V 的一个非空子集，如果 W 对于 V 的两种运算又构成 K 上的线性空间，则称 W 是 V 的子空间

对于任意的线性空间，零空间 {0} 和 V 本身都是 V 的子空间，此两个子空间通常称为 V 的平凡子空间.
V 的非平凡子空间称为 V 的真子空间

W 是 V 的子空间的充要条件是 W 对 V 两种运算封闭

  • 定义：如果 $V_1, V_2$ 是线性空间 V 的两个子空间，那么属于 $V_1, V_2$ 的所有公共向量的集合，称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的交，记作 $V_1 \bigcap V_2$

  • 定理：如果 $V_1, V_2$ 是 V 的两个子空间，则 $V_1 \bigcap V_2$ 仍为 V 的子空间

  • 定理：设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间，则 $dim V_1 + dim V_2 = dim(V_1 + V2) + dim(V_1 \bigcap V_2)$

  • 定义：设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间，如果 $V_1 + V_2$ 中每个向量 $\alpha$ 的分解式 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2$ 唯一，则称 $V_1 + V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和，记作 $V_1 \bigoplus V_2$

  • 定理：设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间，若 $W = V_1 + V_2$，则下述提法等价：

    • (1)$W = V_1 + V_2$ 是直和
    • (2)如果 $0 = \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2$，那么 $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$
    • (3)$V_1 \bigcap V_2 = {0}$
    • (4)如果 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_s$ 是 $V_1$ 的基，$\beta_1, \beta_2, …, \beta_t$ 是 $V_2$ 的基，那么 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, …, \beta_t$ 是 W 的基
    • (5)$dim W = dim V_1 + dim V_2$

  • 定义：设 $V_1, V_2, …, V_s$ 是 V 的子空间，若 $W = V_1 + V_2 + … + V_s$，则下述提法等价：

    • (1)$W = V_1 + V_2 + … + V_s$ 是直和
    • (2)如果 $0 = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_s, \alpha_i \in V_i(i = 1, 2, …, s)$，那么 $\alpha_1 = \alpha_2 = … = \alpha_s = 0$
    • (3)$Vi \bigcap \sum{j \not= i} V_j = { 0 }, (i = 1, 2, …, s)$
    • (4)如果 $e_1^{(i)}, e2^{(i)}, …, e{k_i}^{(i)}(i = 1, 2, …, s)$ 是 $V_i$ 的基，那么它们合在一起构成 W 的基
    • (5)$dim W = \sum_{i=1}^s dim V_i$

线性空间的同态与同构

  • 定义：设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个线性空间，$\sigma$ 为 V 到 U 的映射，若对任意 $\alpha, \beta \in V, k \in K$，有
    • (1)$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
    • (2)$\sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$
    • 则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的同态映射(线性映射)
    • 若 $\sigma$ 还是 1-1映上的映射(单射)，则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的同构映射. 此时称为 V 与 U 同构，记作 $V \cong U$

映射 $\sigma : V \rightarrow U$ 对 V 的不同元有不同的象，即当 $\alpha \not= \beta$ 时可推得 $\sigma(\alpha) \not= \sigma(\beta)$，那么称 $\sigma$ 为 1-1 映射(单射)
映射 $\sigma : V \rightarrow U$ 对每个 $\beta \in U$ 至少是一个 $\alpha \in V$ 的象，那么称 $\sigma$ 为映上映射(满射)
既是1-1映射，又是映上映射的映射称为双射

同态映射的性质：

  • (1)如果 $\alpha = 0 \in V$，则 $\sigma(\alpha) = 0$；如果 $\alpha \in V$，则 $\sigma(-\alpha) = - \sigma(\alpha)$.
  • (2)同态映射把线性相关的元变为线性相关的元
  • (3)V 中所有元的象的集合称为 $\sigma$ 的象(image)，记作 $I_m(\sigma)$，即 $I_m(\sigma) = { \sigma(\alpha)|\alpha \in V }$ 是 U 的子空间，称为 $\sigma$ 的象子空间
  • (4)U 中零元的所有象源的集合称为 $\sigma$ 的核(kernel)，记作 $Ker(\sigma)$，即 $Ker(\sigma) = { \alpha \in V | \sigma(\alpha) = 0 }$ 是 V 的子空间，称为 $\sigma$ 的核子空间
  • (5)$\sigma$ 是同构映射的充要条件是 $I_m(\sigma) = U, Ker(\sigma) = {0}$
  • (6)同构映射把线性无关的元变为线性无关的元
  • (7)同构映射的逆映射是同构映射
  • (8)同构映射的乘积是同构映射

$\sigma, \tau$ 分别是 V到 U 与 U 到 W 的映射，若对任意 $\alpha \in V$，有 $\tau \sigma(\alpha) = \tau(\sigma(\alpha))$，则称 $\tau \sigma$为 $\tau$ 与 $\sigma$ 的乘积
$\sigma$ 是 V 到 V 的映射，若对任意 $\alpha \in V$，有 $\sigma(\alpha) = \alpha$，则称 $\sigma$ 为 V 上的恒等映射，记作 $I_V$，也记作 $I$
$\sigma$ 是 V 到 U 的映射，若存在 U 到 V 的映射 $\tau$，使 $\tau \sigma = I_V, \sigma \tau = I_U$，则称 $\tau$ 为 $\sigma$ 的逆映射，$\sigma$ 的逆映射是唯一的，记作 $\sigma^{-1}$
$\sigma$ 是 V 到 U 的映射，若对任意 $\alpha \in V$，有 $\sigma(\alpha) = 0$，则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的零映射，记作 $0$，即 $0(\alpha) = 0$

  • 定理：设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个n维线性空间，则 $V \cong U$

  • 定理：设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个有限维线性空间，如果 $V \cong U$，则 $dim V = dim U$

线性空间的线性变换

  • 定义：设 V 是数域 K 上的线性空间，如果 $\sigma : V \rightarrow V$ 具有下列性质：
    • (1)对任何的 $\alpha, \beta \in V, \sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
    • (2)对任何的 $k \in K, \alpha \in V, \sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$
    • 则称 $\sigma$ 是一个线性变换

线性变换是线性空间到自身的同态映射
$\sigma : V \rightarrow V$，若对任何 $\alpha \in V, \sigma(\alpha) = 0$，则 $\sigma$ 是 V 的一个线性变换，称为零变换，记作 $0$
$\sigma : V \rightarrow V$，若对任何 $\alpha \in V, \sigma(\alpha) = \alpha$，则 $\sigma$ 是 V 的一个线性变换，称为恒等变换，记作 $I$

线性变换是一种特殊的同态映射，具有所有同态映射所具有的性质:

  • (1)$\sigma(0) = 0, \sigma(- \alpha) = -\sigma(\alpha)$
  • (2)$\sigma$ 把线性相关元变为线性相关元，但线性无关元经 $\sigma$ 作用未必其象线性无关，如零变换

  • (3)$I_m(\sigma)$ (象空间)与 $Ker(\sigma)$ (零空间)都是 V 的子空间，$I_m(\sigma)$ 的维数称为 $\sigma$ 的秩，记作 $rank(\sigma)$，$Ker(\sigma)$ 的维数称为 $\sigma$ 的零度，记作 $nullity(\sigma)$

  • 定理：设 $\sigma : V \rightarrow V$ 是线性的，$dim V = n$，则 $rank(\sigma) + nullity(\sigma) = n$

  • 定义：设 $\sigma, \tau \in A(V)$(A(V)表示V上所有线性变换的集合)，由 $(\sigma + \tau)(\alpha) = \sigma(\alpha) + \tau(\alpha), \alpha \in V$ 所决定的变换 $\sigma + \tau$ 称为 $\sigma$ 与 $\tau$ 的和；由$(k \sigma)(\alpha) = k \sigma(\alpha), k \in K$ 所决定的变换 $k \sigma$ 称为 $k$ 与 $\sigma$ 的数乘

  • 定理：A(V) 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域 K 上的一个线性空间

  • 定义：设 $\sigma, \tau \in A(v)$，那么由 $(\sigma \tau)(\alpha) = \sigma(\tau \alpha), \alpha in V$ 所决定的变换称为 $\sigma$ 与 $\tau$ 的乘积

  • 定理：A(V) 是数域 K 上的一个结合代数

设 A 是数域 k 上的线性空间，若在 A 中定义了乘法运算，并且对任何的 $\alpha, \beta, \gamma \in A, k \in K$，以下性质成立：(1)$\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma$; (2)$(\beta + \gamma)\alpha = \beta \alpha + \gamma \alpha$; (3)$k(\beta \gamma) = (k \beta)\gamma = \beta (k \gamma)$. 则称 A 是 K 上的一个代数，又若 $(\alpha \beta)\gamma = \alpha(\beta \gamma)$，则称 A 是 K 上的一个结合代数

  • 定义：设 $\sigma \in A(V)$，如果存在 $\tau \in A(V)$，使 $\sigma \tau = \tau \sigma = I$，则称 $\sigma$ 是可逆的，$\tau$ 称为 $\sigma$ 的逆变换

可逆变换 $\sigma$ 的逆变换是唯一的
如果 $\sigma$ 与 $\tau$ 都是可逆的线性变换，则 $\sigma \tau$ 可逆，且 $(\sigma \tau)^{-1} = \sigma^{-1} \tau^{-1}$
线性变换 $\sigma$ 可逆的充要条件是 $\sigma$ 是 1-1 而且映上的

V是有限维时，$\sigma$ 可逆的充要条件是 $\sigma$ 是 1-1 的映射
V 的 1-1 映射常称为是非奇异的，因而在有限维线性空间中，可逆与非奇异是一致的

  • 定义：设 W 与 U 是n维线性空间V的两个子空间，且 $V = W \bigoplus U$，即V中每个向量 X 都可以唯一地分解成下列形式 $X = Y + Z, Y \in W, Y \in W, Z \in U$. 若映射 $\sigma : V \rightarrow W$ 定义为 $\sigma(x) = Y$，则称 $\sigma$ 是 V 到 W 的投影变换

  • 定理：若 $\sigma$ 是 V 到 W 的投影变换，则 $\sigma$ 是线性的，且 $\sigma^2 = \sigma$

  • 定理：设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换，且$\sigma^2 = \sigma$，则有

    • (1)对任何 $X \in I_m(\sigma)$，有 $\sigma(X) = X$
    • (2)$V = I_m(\sigma) \bigoplus Ker(\sigma)$
    • (3)$\sigma$ 是 V 到 $I_m(\sigma)$ 的投影变换

线性变换的矩阵表示

设 $\sigma$ 是数域 K 上n维线性空间 V 的一个线性变换，$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 是V的基，$\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), …, \sigma(\alpha_n) \in V$ 都是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 的线性组合，即有
$ \begin{matrix}
\sigma(\alpha1) = a{11}\alpha1 + a{21}\alpha2 + … + a{n1}\alpha_n \
\sigma(\alpha2) = a{12}\alpha1 + a{22}\alpha2 + … + a{n2}\alpha_n \
…… \
\sigma(\alphan) = a{1n}\alpha1 + a{2n}\alpha2 + … + a{nn}\alpha_n \end{matrix}$

  • 引理：设 V 是数域 K 上的线性空间，$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 是 V 的基，$\beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是 V 中任意个向量，则存在唯一的线性变换 $\sigma : V \rightarrow V$，使 $\sigma(\alpha_1) = \beta_1, \sigma(\alpha_2) = \beta_2, …, \sigma(\alpha_n) = \beta_n$

  • 定理：数域 K 上的n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 与 K 上n阶矩阵A之间可以建立一一对应关系，并且关系如下所示：

    • $\sigma(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = (\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), …, \sigma(\alpha_n)) = (\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)A$
    • 其中
      $$A =
      \left[ \begin{matrix}
      a{11} & a{12} & … & a{1n} \
      a      {21} & a{22} & … & a{2n} \
      . & . & & . \
      . & . & & . \
      . & . & & . \
      a{n1} & a{n2} & … & a_{nn}
      \end{matrix}
      \right]
      $$

  • 定理：设 A(V) 和 $K^{nn}$ 是数域 K 上的两个线性空间，则 $A(V) \cong K^{nn}$

  • 定理：设 A(V) 和 $K^{nn}$ 是数域 K 上的两个结合代数，则 $A(V) \cong K^{nn}$

  • 推论：设数域 K 上n维线性空间 V 的一个线性变换 $\sigma$ 对于给定基的矩阵是A，那么 $\sigma$ 可逆的充要条件是A可逆，而且 $\sigma^{-1}$ 对于这个基的矩阵恰为 $A^{-1}$

  • 推论：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n; \beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是线性空间 V 的任意两组基底，则存在唯一的可逆的线性变换 $\sigma$，使 $\sigma(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, …, \beta_n)$

  • 推论：线性空间 V 的一个线性变换 $\sigma$ 是可逆的充要条件是，$\sigma$ 把 V 的一组基变为另一组基

  • 定义：设 A、B 是数域 K 上两个n阶矩阵，如果在 K 上存在一个可逆矩阵P，使 $B = P^{-1}AP$，则说 A 与 B相似，记作 $A \sim B$

相似关系的基本性质：

  • (1)自反性：$A \sim A$；对任意的 A 显然有 $A = E^{-1}AE$
  • (2)对称性：若 $A \sim B$，则 $B \sim A$; 由 $A \sim B$ 得 $B = P^{-1}AP$，由此有 $Q = P^{-1}$，使 $A = Q^{-1}BQ$
  • (3)传递性：如果 $A \sim B, B \sim C$，则 $A \sim C$; 由 $A \sim B, B \sim C$，得 $B = P^{-1}AP, C = Q^{-1}BQ$，由此有 $R = PQ$，使 $C = R^{-1}AR$

  • (4)若 $A \sim B$，$f(x) \in K[x]$，则 $f(A) \sim f(B)$ (K[x]表示数域K上的多项式空间)

  • 定理：线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反之，如果两个矩阵相似，那么它们便可以看作同一个线性变换在不同基下的矩阵，即两个矩阵相似的充要条件是它们表示同一个线性变换

特征向量与对角化

  • 定义：设 $\sigma$ 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换，对于 $\lambda \in K$，若存在一非零向量 $\alpha$，使 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$，则称 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的一个特征根或特征值，$\alpha$ 称为 $\sigma$ 的属于特征根 $\lambda$ 的一个特征向量

特征向量不被特征根所唯一决定：$\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha) = k(\lambda \alpha) = \lambda(k \alpha) (k \not= 0)$
特征根被特征向量唯一决定

特征子空间：$V_{\lambda} = { \alpha | \sigma(\alpha) = \lambda \alpha, \alpha \in V }$

线性变换 $\sigma$ 对数域 K 上线性空间 V 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alphan$ 的矩阵为 $A = (a{ij})_{n*n}$.
$\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征根，$\sigma$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量 $\alpha$ 在这组基下的坐标是 $x_1, x_2, …, x_n$，即 $\alpha = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + … x_n \alpha_n$
$\sigma(\alpha)$ 在这组基下的坐标为 $$A \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
$\lambda \alpha$ 在这组基下的坐标为 $$\lambda \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
由 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$，故有 $$A \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right] = \lambda \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$ 或 $$(\lambda E - A)X = 0$$ 其中 $$X = \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
由于 $\alpha \not= 0$，即 $x_1, x_2, …, xn$ 不全为零，故齐次线性方程组有非零解，因而系数行列式 $$det(\lambda E - A) =
\left| \begin{matrix}
\lambda - \alpha{11} & -\alpha{12} & … & -\alpha{1n} \
-\alpha{21} & \lambda - \alpha{22} & … & -\alpha{2n} \
. & . & & . \
. & . & & . \
. & . & & . \
-\alpha{n1} & \alpha{n2} & … & \lambda - \alpha{nn}
\end{matrix}
\right|
$$

矩阵A的特征多项式：$det(\lambda E - A)$，记作 $\Delta_A(\lambda)$

  • 定理：设 $A \sim B$，则 $\Delta_A(\lambda) = \Delta_B(\lambda)$，从而有相同的特征根

  • 定理：设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换，则 $\sigma$ 的特征根的几何重数(特征子空间 $V_{\lambda}$的维数)小于或者等于它的代数重数(特征根 $\lambda$ 的重数)

  • 定理：设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换，则 $\sigma$ 的分别属于不同特征根 $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_m$ 的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 线性无关

  • 定理：设 $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambdak$ 是n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 的不同的特征根，$\alpha{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{ir_i}(i = 1, 2, …, k)$ 是属于 $\lambdai$ 的线性无关的特征向量，则 $\alpha{11}, …, \alpha_{1r1}, …, \alpha{k1}, …, \alpha_{kr_k}$ 线性无关

  • 定理：设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换，则 $\sigma$ 的特征根的几何重数等于它的代数重数的充要条件是，$\sigma$ 有n个线性无关的特征向量

  • 定理：设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换，则存在一组基，使 $\sigma$ 对这基的矩阵为对角形的充分条件是，$\sigma$ 有n个线性无关的特征向量

  • 推论：如果n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 在数域 K 中有n个不同的特征根，则必存在一组基，使 $\sigma$ 对这基的矩阵是对角形

引用

  1. 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社