线性空间
- 定义:设 K 是给定的数域,V 是具有加法和数量乘法的非空集合,即对任何 $\alpha, \beta \in V, k \in K$,确定和 $\alpha + \beta \in V$,确定积 $k \alpha \in V$. 如果以下公理成立:
- (1)对任何 $\alpha, \beta \in V$,有 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$
- (2)对任何 $\alpha, \beta, \gamma \in V$,有 $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
- (3)对任何 $\alpha \in V$,在 V 中存在一个元素0,使 $\alpha + 0 = \alpha$,其中0称为 V 的零元素
- (4)对于所有的 $\alpha \in V$,存在 $\beta \in V$,使 $\alpha + \beta = 0$,其中 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负元素
- (5)$1 \cdot \alpha = \alpha$
- (6)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$,有 $k(l \alpha) = (kl)\alpha$
- (7)对任何 $k, l \in K, \alpha \in V$,有 $(k + l)\alpha = k \alpha + l \alpha$
- (8)对任何 $k \in K, \alpha, \beta \in V$,有 $k(\alpha + \beta) = k \alpha + k \beta$
- 则称 V 是数域K上的线性空间
线性空间中的元素又称向量
线性空间的基本性质:
- (1)线性空间的零元唯一
- (2)线性空间的每个元的负元唯一
- (3)$0 \alpha = 0, k 0 = 0, (-1)\alpha = - \alpha$
- (4)若 $k \alpha = 0$,则 $k = 0$ 或 $\alpha = 0$
线性空间定义中规定的两种代数运算并没有具体给出,一般由具体问题指定
零元不一定是数零,$\alpha$ 的负元不一定是 $-\alpha$
子空间
- 定义:设 W 是数域 K 上线性空间 V 的一个非空子集,如果 W 对于 V 的两种运算又构成 K 上的线性空间,则称 W 是 V 的子空间
对于任意的线性空间,零空间 {0} 和 V 本身都是 V 的子空间,此两个子空间通常称为 V 的平凡子空间.
V 的非平凡子空间称为 V 的真子空间W 是 V 的子空间的充要条件是 W 对 V 两种运算封闭
定义:如果 $V_1, V_2$ 是线性空间 V 的两个子空间,那么属于 $V_1, V_2$ 的所有公共向量的集合,称为 $V_1$ 与 $V_2$ 的交,记作 $V_1 \bigcap V_2$
定理:如果 $V_1, V_2$ 是 V 的两个子空间,则 $V_1 \bigcap V_2$ 仍为 V 的子空间
定理:设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间,则 $dim V_1 + dim V_2 = dim(V_1 + V2) + dim(V_1 \bigcap V_2)$
定义:设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间,如果 $V_1 + V_2$ 中每个向量 $\alpha$ 的分解式 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2$ 唯一,则称 $V_1 + V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和,记作 $V_1 \bigoplus V_2$
定理:设 $V_1$ 与 $V_2$ 是 V 的两个子空间,若 $W = V_1 + V_2$,则下述提法等价:
- (1)$W = V_1 + V_2$ 是直和
- (2)如果 $0 = \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2$,那么 $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$
- (3)$V_1 \bigcap V_2 = {0}$
- (4)如果 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_s$ 是 $V_1$ 的基,$\beta_1, \beta_2, …, \beta_t$ 是 $V_2$ 的基,那么 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_s, \beta_1, \beta_2, …, \beta_t$ 是 W 的基
- (5)$dim W = dim V_1 + dim V_2$
定义:设 $V_1, V_2, …, V_s$ 是 V 的子空间,若 $W = V_1 + V_2 + … + V_s$,则下述提法等价:
- (1)$W = V_1 + V_2 + … + V_s$ 是直和
- (2)如果 $0 = \alpha_1 + \alpha_2 + … + \alpha_s, \alpha_i \in V_i(i = 1, 2, …, s)$,那么 $\alpha_1 = \alpha_2 = … = \alpha_s = 0$
- (3)$Vi \bigcap \sum{j \not= i} V_j = { 0 }, (i = 1, 2, …, s)$
- (4)如果 $e_1^{(i)}, e2^{(i)}, …, e{k_i}^{(i)}(i = 1, 2, …, s)$ 是 $V_i$ 的基,那么它们合在一起构成 W 的基
- (5)$dim W = \sum_{i=1}^s dim V_i$
线性空间的同态与同构
- 定义:设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个线性空间,$\sigma$ 为 V 到 U 的映射,若对任意 $\alpha, \beta \in V, k \in K$,有
- (1)$\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
- (2)$\sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$
- 则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的同态映射(线性映射)
- 若 $\sigma$ 还是 1-1映上的映射(单射),则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的同构映射. 此时称为 V 与 U 同构,记作 $V \cong U$
映射 $\sigma : V \rightarrow U$ 对 V 的不同元有不同的象,即当 $\alpha \not= \beta$ 时可推得 $\sigma(\alpha) \not= \sigma(\beta)$,那么称 $\sigma$ 为 1-1 映射(单射)
映射 $\sigma : V \rightarrow U$ 对每个 $\beta \in U$ 至少是一个 $\alpha \in V$ 的象,那么称 $\sigma$ 为映上映射(满射)
既是1-1映射,又是映上映射的映射称为双射
同态映射的性质:
- (1)如果 $\alpha = 0 \in V$,则 $\sigma(\alpha) = 0$;如果 $\alpha \in V$,则 $\sigma(-\alpha) = - \sigma(\alpha)$.
- (2)同态映射把线性相关的元变为线性相关的元
- (3)V 中所有元的象的集合称为 $\sigma$ 的象(image),记作 $I_m(\sigma)$,即 $I_m(\sigma) = { \sigma(\alpha)|\alpha \in V }$ 是 U 的子空间,称为 $\sigma$ 的象子空间
- (4)U 中零元的所有象源的集合称为 $\sigma$ 的核(kernel),记作 $Ker(\sigma)$,即 $Ker(\sigma) = { \alpha \in V | \sigma(\alpha) = 0 }$ 是 V 的子空间,称为 $\sigma$ 的核子空间
- (5)$\sigma$ 是同构映射的充要条件是 $I_m(\sigma) = U, Ker(\sigma) = {0}$
- (6)同构映射把线性无关的元变为线性无关的元
- (7)同构映射的逆映射是同构映射
- (8)同构映射的乘积是同构映射
$\sigma, \tau$ 分别是 V到 U 与 U 到 W 的映射,若对任意 $\alpha \in V$,有 $\tau \sigma(\alpha) = \tau(\sigma(\alpha))$,则称 $\tau \sigma$为 $\tau$ 与 $\sigma$ 的乘积
$\sigma$ 是 V 到 V 的映射,若对任意 $\alpha \in V$,有 $\sigma(\alpha) = \alpha$,则称 $\sigma$ 为 V 上的恒等映射,记作 $I_V$,也记作 $I$
$\sigma$ 是 V 到 U 的映射,若存在 U 到 V 的映射 $\tau$,使 $\tau \sigma = I_V, \sigma \tau = I_U$,则称 $\tau$ 为 $\sigma$ 的逆映射,$\sigma$ 的逆映射是唯一的,记作 $\sigma^{-1}$
$\sigma$ 是 V 到 U 的映射,若对任意 $\alpha \in V$,有 $\sigma(\alpha) = 0$,则称 $\sigma$ 为 V 到 U 的零映射,记作 $0$,即 $0(\alpha) = 0$
定理:设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个n维线性空间,则 $V \cong U$
定理:设 V 与 U 是同一数域 K 上的两个有限维线性空间,如果 $V \cong U$,则 $dim V = dim U$
线性空间的线性变换
- 定义:设 V 是数域 K 上的线性空间,如果 $\sigma : V \rightarrow V$ 具有下列性质:
- (1)对任何的 $\alpha, \beta \in V, \sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
- (2)对任何的 $k \in K, \alpha \in V, \sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)$
- 则称 $\sigma$ 是一个线性变换
线性变换是线性空间到自身的同态映射
$\sigma : V \rightarrow V$,若对任何 $\alpha \in V, \sigma(\alpha) = 0$,则 $\sigma$ 是 V 的一个线性变换,称为零变换,记作 $0$
$\sigma : V \rightarrow V$,若对任何 $\alpha \in V, \sigma(\alpha) = \alpha$,则 $\sigma$ 是 V 的一个线性变换,称为恒等变换,记作 $I$
线性变换是一种特殊的同态映射,具有所有同态映射所具有的性质:
- (1)$\sigma(0) = 0, \sigma(- \alpha) = -\sigma(\alpha)$
- (2)$\sigma$ 把线性相关元变为线性相关元,但线性无关元经 $\sigma$ 作用未必其象线性无关,如零变换
(3)$I_m(\sigma)$ (象空间)与 $Ker(\sigma)$ (零空间)都是 V 的子空间,$I_m(\sigma)$ 的维数称为 $\sigma$ 的秩,记作 $rank(\sigma)$,$Ker(\sigma)$ 的维数称为 $\sigma$ 的零度,记作 $nullity(\sigma)$
定理:设 $\sigma : V \rightarrow V$ 是线性的,$dim V = n$,则 $rank(\sigma) + nullity(\sigma) = n$
定义:设 $\sigma, \tau \in A(V)$(A(V)表示V上所有线性变换的集合),由 $(\sigma + \tau)(\alpha) = \sigma(\alpha) + \tau(\alpha), \alpha \in V$ 所决定的变换 $\sigma + \tau$ 称为 $\sigma$ 与 $\tau$ 的和;由$(k \sigma)(\alpha) = k \sigma(\alpha), k \in K$ 所决定的变换 $k \sigma$ 称为 $k$ 与 $\sigma$ 的数乘
定理:A(V) 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域 K 上的一个线性空间
定义:设 $\sigma, \tau \in A(v)$,那么由 $(\sigma \tau)(\alpha) = \sigma(\tau \alpha), \alpha in V$ 所决定的变换称为 $\sigma$ 与 $\tau$ 的乘积
定理:A(V) 是数域 K 上的一个结合代数
设 A 是数域 k 上的线性空间,若在 A 中定义了乘法运算,并且对任何的 $\alpha, \beta, \gamma \in A, k \in K$,以下性质成立:(1)$\alpha(\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma$; (2)$(\beta + \gamma)\alpha = \beta \alpha + \gamma \alpha$; (3)$k(\beta \gamma) = (k \beta)\gamma = \beta (k \gamma)$. 则称 A 是 K 上的一个代数,又若 $(\alpha \beta)\gamma = \alpha(\beta \gamma)$,则称 A 是 K 上的一个结合代数
- 定义:设 $\sigma \in A(V)$,如果存在 $\tau \in A(V)$,使 $\sigma \tau = \tau \sigma = I$,则称 $\sigma$ 是可逆的,$\tau$ 称为 $\sigma$ 的逆变换
可逆变换 $\sigma$ 的逆变换是唯一的
如果 $\sigma$ 与 $\tau$ 都是可逆的线性变换,则 $\sigma \tau$ 可逆,且 $(\sigma \tau)^{-1} = \sigma^{-1} \tau^{-1}$
线性变换 $\sigma$ 可逆的充要条件是 $\sigma$ 是 1-1 而且映上的V是有限维时,$\sigma$ 可逆的充要条件是 $\sigma$ 是 1-1 的映射
V 的 1-1 映射常称为是非奇异的,因而在有限维线性空间中,可逆与非奇异是一致的
定义:设 W 与 U 是n维线性空间V的两个子空间,且 $V = W \bigoplus U$,即V中每个向量 X 都可以唯一地分解成下列形式 $X = Y + Z, Y \in W, Y \in W, Z \in U$. 若映射 $\sigma : V \rightarrow W$ 定义为 $\sigma(x) = Y$,则称 $\sigma$ 是 V 到 W 的投影变换
定理:若 $\sigma$ 是 V 到 W 的投影变换,则 $\sigma$ 是线性的,且 $\sigma^2 = \sigma$
定理:设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换,且$\sigma^2 = \sigma$,则有
- (1)对任何 $X \in I_m(\sigma)$,有 $\sigma(X) = X$
- (2)$V = I_m(\sigma) \bigoplus Ker(\sigma)$
- (3)$\sigma$ 是 V 到 $I_m(\sigma)$ 的投影变换
线性变换的矩阵表示
设 $\sigma$ 是数域 K 上n维线性空间 V 的一个线性变换,$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 是V的基,$\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), …, \sigma(\alpha_n) \in V$ 都是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 的线性组合,即有
$ \begin{matrix}
\sigma(\alpha1) = a{11}\alpha1 + a{21}\alpha2 + … + a{n1}\alpha_n \
\sigma(\alpha2) = a{12}\alpha1 + a{22}\alpha2 + … + a{n2}\alpha_n \
…… \
\sigma(\alphan) = a{1n}\alpha1 + a{2n}\alpha2 + … + a{nn}\alpha_n \end{matrix}$
引理:设 V 是数域 K 上的线性空间,$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 是 V 的基,$\beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是 V 中任意个向量,则存在唯一的线性变换 $\sigma : V \rightarrow V$,使 $\sigma(\alpha_1) = \beta_1, \sigma(\alpha_2) = \beta_2, …, \sigma(\alpha_n) = \beta_n$
定理:数域 K 上的n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 与 K 上n阶矩阵A之间可以建立一一对应关系,并且关系如下所示:
- $\sigma(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = (\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), …, \sigma(\alpha_n)) = (\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)A$
- 其中
$$A =
\left[ \begin{matrix}
a{11} & a{12} & … & a{1n} \
a{21} & a{22} & … & a{2n} \
. & . & & . \
. & . & & . \
. & . & & . \
a{n1} & a{n2} & … & a_{nn}
\end{matrix}
\right]
$$
- 其中
定理:设 A(V) 和 $K^{nn}$ 是数域 K 上的两个线性空间,则 $A(V) \cong K^{nn}$
定理:设 A(V) 和 $K^{nn}$ 是数域 K 上的两个结合代数,则 $A(V) \cong K^{nn}$
推论:设数域 K 上n维线性空间 V 的一个线性变换 $\sigma$ 对于给定基的矩阵是A,那么 $\sigma$ 可逆的充要条件是A可逆,而且 $\sigma^{-1}$ 对于这个基的矩阵恰为 $A^{-1}$
推论:设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n; \beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是线性空间 V 的任意两组基底,则存在唯一的可逆的线性变换 $\sigma$,使 $\sigma(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, …, \beta_n)$
推论:线性空间 V 的一个线性变换 $\sigma$ 是可逆的充要条件是,$\sigma$ 把 V 的一组基变为另一组基
定义:设 A、B 是数域 K 上两个n阶矩阵,如果在 K 上存在一个可逆矩阵P,使 $B = P^{-1}AP$,则说 A 与 B相似,记作 $A \sim B$
相似关系的基本性质:
- (1)自反性:$A \sim A$;对任意的 A 显然有 $A = E^{-1}AE$
- (2)对称性:若 $A \sim B$,则 $B \sim A$; 由 $A \sim B$ 得 $B = P^{-1}AP$,由此有 $Q = P^{-1}$,使 $A = Q^{-1}BQ$
- (3)传递性:如果 $A \sim B, B \sim C$,则 $A \sim C$; 由 $A \sim B, B \sim C$,得 $B = P^{-1}AP, C = Q^{-1}BQ$,由此有 $R = PQ$,使 $C = R^{-1}AR$
(4)若 $A \sim B$,$f(x) \in K[x]$,则 $f(A) \sim f(B)$ (K[x]表示数域K上的多项式空间)
定理:线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反之,如果两个矩阵相似,那么它们便可以看作同一个线性变换在不同基下的矩阵,即两个矩阵相似的充要条件是它们表示同一个线性变换
特征向量与对角化
- 定义:设 $\sigma$ 是数域 K 上线性空间 V 的线性变换,对于 $\lambda \in K$,若存在一非零向量 $\alpha$,使 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$,则称 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的一个特征根或特征值,$\alpha$ 称为 $\sigma$ 的属于特征根 $\lambda$ 的一个特征向量
特征向量不被特征根所唯一决定:$\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha) = k(\lambda \alpha) = \lambda(k \alpha) (k \not= 0)$
特征根被特征向量唯一决定特征子空间:$V_{\lambda} = { \alpha | \sigma(\alpha) = \lambda \alpha, \alpha \in V }$
线性变换 $\sigma$ 对数域 K 上线性空间 V 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alphan$ 的矩阵为 $A = (a{ij})_{n*n}$.
$\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征根,$\sigma$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量 $\alpha$ 在这组基下的坐标是 $x_1, x_2, …, x_n$,即 $\alpha = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + … x_n \alpha_n$
$\sigma(\alpha)$ 在这组基下的坐标为 $$A \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
$\lambda \alpha$ 在这组基下的坐标为 $$\lambda \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
由 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$,故有 $$A \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right] = \lambda \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$ 或 $$(\lambda E - A)X = 0$$ 其中 $$X = \left[ \begin{matrix} x1 \ x2 \ . \ . \ . \ x_n \end{matrix} \right]$$
由于 $\alpha \not= 0$,即 $x_1, x_2, …, xn$ 不全为零,故齐次线性方程组有非零解,因而系数行列式 $$det(\lambda E - A) =
\left| \begin{matrix}
\lambda - \alpha{11} & -\alpha{12} & … & -\alpha{1n} \
-\alpha{21} & \lambda - \alpha{22} & … & -\alpha{2n} \
. & . & & . \
. & . & & . \
. & . & & . \
-\alpha{n1} & \alpha{n2} & … & \lambda - \alpha{nn}
\end{matrix}
\right|
$$矩阵A的特征多项式:$det(\lambda E - A)$,记作 $\Delta_A(\lambda)$
定理:设 $A \sim B$,则 $\Delta_A(\lambda) = \Delta_B(\lambda)$,从而有相同的特征根
定理:设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换,则 $\sigma$ 的特征根的几何重数(特征子空间 $V_{\lambda}$的维数)小于或者等于它的代数重数(特征根 $\lambda$ 的重数)
定理:设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换,则 $\sigma$ 的分别属于不同特征根 $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_m$ 的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 线性无关
定理:设 $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambdak$ 是n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 的不同的特征根,$\alpha{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{ir_i}(i = 1, 2, …, k)$ 是属于 $\lambdai$ 的线性无关的特征向量,则 $\alpha{11}, …, \alpha_{1r1}, …, \alpha{k1}, …, \alpha_{kr_k}$ 线性无关
定理:设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换,则 $\sigma$ 的特征根的几何重数等于它的代数重数的充要条件是,$\sigma$ 有n个线性无关的特征向量
定理:设 $\sigma$ 是n维线性空间 V 的线性变换,则存在一组基,使 $\sigma$ 对这基的矩阵为对角形的充分条件是,$\sigma$ 有n个线性无关的特征向量
推论:如果n维线性空间 V 的线性变换 $\sigma$ 在数域 K 中有n个不同的特征根,则必存在一组基,使 $\sigma$ 对这基的矩阵是对角形
引用
- 《高等代数与解析几何》,王心介,科学出版社