向量空间

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n维向量空间 $K^n$

  • $K^n$ 表示 K 上所有n维向量的集合：向量空间

  • 定义：设 W 是 $K^n$ 的一个非空子集，如果对任何 $\alpha, \beta \in W, k \in K$，有 $\alpha + \beta \in W, k \alpha \in W$，则称 W 是 $K^n$ 的子空间

零向量形成 $K^n$ 的一个子空间，记作 {0}，和 $K^n$ 都称为 $K^n$ 的平凡子空间

  • 设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \in K^n$，则 $\alpha = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$ 称为 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 的线性组合(线性表示)
  • 定义：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \in K^n$，若存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, …, k_m \in K$，使 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m = 0$，则称 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 线性相关. 若这样的数不存在，或者说只有当 $k_1 = k_2 = … = k_m = 0$ 时，上式才成立，则称 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 线性无关

向量的线性关系的基本性质：

  • (1)在向量组 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 中，若 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m(m < n)$ 线性相关，则 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m, …, \alpha_n$ 也线性相关

  • (2)若 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 线性无关，而 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m, \alpha$ 线性相关，则 $\alpha$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 的线性组合

  • (3)若 $\alpha$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 的线性组合，则这种表示法唯一的充要条件是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 线性无关

  • (4)m(m > 1)个n维向量线性相关的充要条件是，其中某一向量是其余向量的线性组合

  • 定义：若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 中每一向量都是 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$ 的线性组合，则称 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 是 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$ 的线性组合或线性表示. 若两个向量互为线性组合，则它们等价

矩阵的行初等变换把一个向量组变为与其等价的一个向量组
向量组间的等价关系满足自反性、对称性与传递性

  • 定义：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 与 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$ 是两个向量组，若 (1)$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 可用 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$，且(2)r > s，则 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 线性相关

  • 推论：$K^n$ 中任意n+1个n维向量线性相关

  • 推论：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 与 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$ 线性无关且等价，则 r = s

  • 定义：设 $\alpha_{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{i_r}$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 的一部分向量. 若

    • (1)$\alpha_{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{i_r}$ 线性无关；
    • (2)$\alpha_1, \alpha_2, …, \alpham$ 中每一向量都是 $\alpha{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{ir}$ 的线性组合，则称 $\alpha{i1}, \alpha{i2}, …, \alpha{i_r}$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$的一个极大无关组

  • 定义：一个向量组的极大无关组所包含的向量的个数称为这向量组的秩

  • 推论：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 与 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是两个向量组，若它们等价，则其秩相等

基底、维数与坐标

  • 定义：设 W 是 $K^n$ 的一个子空间，如果 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m \in W$ 线性无关，且任意向量 $\alpha \in W$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 的线性组合，即 $\alpha = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + … + k_m \alpha_m$，则称 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_m$ 是 W 的一组基底. 基底所含向量的个数 m 称为 W 的维数，记作 dimW = m. $k_1, k_2, …, k_m$ 称为 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpham$ 下的坐标，记作 $[\alpha]{\alpha_i} = (k_1, k_2, …, k_m)$

$e_1, e_2, …, e_n$ 是 $K^n$ 的一组基底，称为 $K^n$ 的自然基底，$K^n$ 的维数是n，且任意向量 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n)$对于这组基的坐标是 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$

$dim W \leq dim K^n$，规定零空间的维数是0

  • 定理：在向量空间 $K^n$ 中，任意n个线性无关的向量构成它的基底

  • 定理：如果 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 线性无关，($r \leq n$)，那么在 $K^n$ 中可以选取 n-r 个向量，使 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alphar, \alpha{r+1}, …, \alpha_n$ 为 $K^n$ 的一组基底

  • 定理：(1)两个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 与 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_s$ 等价的充要条件是 $L(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r) = L(\beta_1, \beta_2, …, \beta_s)$

    • (2)$L(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r)$ 的维数等于 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_r$ 的秩

$L(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpham) = { \sum{i=1}^{m} k_i \alpha_i | k_i \in K }$

  • 定理：设 $\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, …, \beta_n$ 是向量空间 $K^n$ 的两组基，而且
    $$
    \begin{matrix}
    \beta1 = a{11} \alpha1 + a{21} \alpha2 + … + a{n1} \alpha_n \
    \beta2 = a{12} \alpha1 + a{22} \alpha2 + … + a{n2} \alpha_n \
    …… \
    \beta1 = a{1n} \alpha1 + a{2n} \alpha2 + … + a{nn} \alpha_n
    \end{matrix}
    $$
    即(基底的变换公式) $$(\beta_1, \beta_2, …, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, …, \alphan)A $$
    其中
    $$ A (过渡矩阵) = \left[ \begin{matrix}
    a    {11} & a{12} & … & a{1n} \
    a{21} & a{22} & … & a{2n} \
    . & . & & . \
    . & . & & . \
    . & . & & . \
    a    {n1} & a{n2} & … & a{nn}
    \end{matrix} \right]
    $$
    如果 $[\alpha]_{\alpha_i} = (x_1, x_2, …, xn), [\alpha]{\beta_i} = (y_1, y_2, …, yn)$，那么(向量的坐标变换公式) $[\alpha]{\betai} = [\alpha]{\alpha_i}(A^T)^{-1}$

矩阵的秩

  • 定义：设 $A \in K^{m*n}$，则A的行空间的维数和列空间的维数，分别称为A的行秩和列秩

  • 定理：设 $A = (a{ij}){m*n}$，则A的行秩等于A的列秩

  • 定理：矩阵A的行秩或列秩称为A的秩，记作 rank(A) 或 r(A)

$A \cong B$ 时，rank(A) = rank(B).
矩阵A的标准形是唯一的；任意矩阵A乘以可逆矩阵后其秩不变

  • 定理：设 $A = (a{ij}){m*n}$，则 rank(A) = r 的充要条件是A中有一个r阶子式不为零，而所有高于r阶的子式全为零

rank(A) = rank($A^T$)

  • 定理：设 $A = (a{ij}){ml}, B = (b{ij}){ln}$，则 $rank(AB) \leq min{ rank(A), rank(B) }$

线性方程组

  • 定理：设 $A \in K^{m*n}$，则 Ax = b 有解的充要条件是 $b \in R(A)$

  • 定理：设 $A \in K^{m*n}$，则 Ax = b 有解的充要条件是 rank(A) = rank(A, b)

  • 定理：设 $A \in K^{m*n}$，rank(A) = rank(A, b)，则 AX = b 有唯一解的充要条件是 rank(A) = n

  • 定理：设 $A = (a{ij}){m*n}, rank(A) = r < n$，则 dim N(A) = n-r

  • 定理：AX = b 的一个已知解与其对应齐次线性方程组 AX = 0 的任意解之和，等于 AX = b 的全部解

引用

  1. 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社