矩阵的初等变换

定义：若 $A = (a{ij}) \in C^{m*n}$，则矩阵 $\overline A = ( \overline a{ij}){m*n}$，其中 $\overline a{ij}$ 是 a 的共轭复数，称为 A 的共轭矩阵；若 $A^{} = (a_{ji}^{}) = \overline A^{T}$，即 $a{ji}^{*} = \overline a{ij}(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)$，则矩阵 $A^{}$ 称为 A 的*共轭转置矩阵，有时记作 $A^{H}$
定义：设 $A = R^{nn}$，如果 $A = A^{T}$，则 A 叫实对称矩阵，设 $B \in C^{nn}$，如果 $B = B^{H}$，则 B 称为埃尔米特(Hermite)矩阵

- 例如：
  实对称矩阵
  $$
  \left[ \begin{matrix} 3 & 0 & 5 \ 0 & 1 & -1 \ 5 & -1 & 0 \end{matrix} \right]
  $$
  埃米尔特矩阵
  $$
  \left[ \begin{matrix} a & a + di \ a - di & b \end{matrix}
  \right]
  $$
定义：设 $A = R^{nn}$，如果 $A^{T} = -A$，则 A 称实反对称矩阵；设 $B \in C^{nn}$，如果 $B^{H} = -B$，则 B 称为反埃米尔特矩阵
- 例如：
  实反对称矩阵
  $$
  \left[ \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \ -3 & 0 & 1 \ -2 & -1 & 0 \end{matrix} \right]
  $$
  反埃米尔特矩阵
  $$
  \left[ \begin{matrix} 3i & 5 + 4i \ -5 + 4i & -7i \end{matrix}
  \right]
  $$

定义：设 $A$ 为 nn 矩阵，如果存在 nn 矩阵 B ，使 $AB = BA = E$，则称 A 为可逆矩阵或非奇异矩阵，称 B 是 A 的逆矩阵

A、B互为逆矩阵

矩阵的逆的基本性质：

(1)可逆矩阵A的逆是唯一的
(2)设A为可逆矩阵，则 $A^{T}$ 可逆，且 $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$
(3)设A和B都是同阶可逆矩阵，则AB可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
定义矩阵的方幂：设 $A = A_{n*n}$，记 $A^{0} = E, \ \ \ A^{k} = \overbrace{AA…A}^{k个A}$，称 $A^{k}$ 是A的k次幂
- 若A可逆，记 $A^{-k} = \overbrace{A^{-1}A^{-1}…A^{-1}}^{k个A^{-1}}$
- $A^k · A^l = A^{k+l}, (A^k)^l = A^{kl}$

行等价具有性质：
自反性：A和自身行等价
对称性：若A和B等价，则B与A行等价
传递性：若A与B行等价，B与C行等价，则A与C行等价

定义：对于矩阵 $A = (a{ij})$，如果它的每一行的第一个非零元前面的零的个数逐行增加，直到剩下全部都是零的行(如果有零的话)，即 $a{1j1} \not= 0, a{2j2} \not= 0, …, a{rj_r} \not= 0, i_1 < j_2 < … < jr, a{ij} = 0, i \geq r, j < j_i与i > r$，则称A是梯形阵(阶梯型矩阵)
定理：任意矩阵A行等价与一个梯形阵
定义：如果矩阵A经过有限次初等变换到B，则称A与B等价，记作 $A \cong B$.
- 矩阵间的等价关系具有自反性、对称性和传递性
定理：任意矩阵A等价于以下对角形矩阵
$$
\left[ \begin{matrix}
1 & & & & & & & & & & & \
& 1 & & & & & & & & & & \
& & . & & & & & & & & & \
& & & . & & & & & & & & \
& & & & . & & & & & & & \
& & & & & 1 & & & & & & \
& & & & & & 0 & & & & & \
& & & & & & & 0 & & & & \
& & & & & & & & . & & & \
& & & & & & & & & . & & \
& & & & & & & & & & . & \
& & & & & & & & & & & .
\end{matrix}
\right]
$$
此矩阵称为A的标准形
定义：对单位矩阵E进行一次初等变换得到的矩阵，称初等矩阵
- $E_{ij}$ 称为对换阵：互换E的第i行与第j行
- $E_i(k)$ 称为倍乘阵：用K中一个非零的数k乘E的第i行
- $E_{ij}(k)$ 称为倍加阵：用K中一个数k乘E的第j行加到第i(<j)行上去

列初等变换得到的初等矩阵与行初等变换是相同的

定理：设 $A \in K^{m*n}$，对A施行一次行初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵左乘A；对A施行一次列初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵右乘A

初等矩阵的性质：

求可逆矩阵A的逆$A^{-1}$：