向量的内积、外积与混合积以及平面、直线

发表于

向量

  • 定义：平行于同一直线的一组向量称为共线向量，平行于同一平面的一组向量称为共面向量

  • 引理：设向量 $\alpha$ 不为零向量，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线的充要条件是存在唯一实数 k 使 $\beta = k \alpha$

  • 定理：向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 共线的充要条件是存在不全为零的实数 $k_1, k_2$ 使 $k_1 \alpha + k_2 \beta = 0$

  • 引理：设 $\gamma = k_1 \alpha + k_2 \beta$，则向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 共面

  • 引理：设向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 共面，且 $\alpha, \beta$ 不共线，则存在唯一的实数 $k_1, k_2$ 使 $\gamma = k_1 \alpha + k_2 \beta$

  • 定理：向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 共面的充要条件是存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $k_1 \alpha + k_2 \beta + k_3 \gamma = 0$

坐标系

  • 定理：向量 $\alpha_1 = (x_1, x_2, x_3)$ 和 $\alpha_2 = (y_1, y_2, y_3)$ 共线的充要条件是对应坐标成比例

  • 定理：向量 $\alpha_1 = (x_1, x_2, x_3), \alpha_2 = (y_1, y_2, y_3), \alpha_3 = (z_1, z_2, z_3)$ 共面的充要条件是
    $$ \left|
    \begin{matrix}
    x_1 & x_2 & x_3 \ y_1 & y_2 & y_3 \ z_1 & z_2 & z_3
    \end{matrix}
    \right| = 0
    $$

  • 定理：设 A 与 B 的坐标分别为 $(x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)$，则使有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 成定比 $\lambda(\lambda \not= -1)$ 的分点 C 的坐标为 $z_1 = \frac{x_1 + \lambda y_1}{1 + \lambda}, z_2 = \frac{x_2 + \lambda y_2}{1 + \lambda}, z_3 = \frac{x_3 + \lambda y_3}{1 + \lambda}$

对于有向线段 $\overrightarrow{AB}$，若点C满足 $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{CB}$，则称C是使用 $\overrightarrow{AB}$分成定比 $\lambda$

向量的内积、外积与混合积

内积

  • 定义：设 $\alpha, \beta$ 为任意两个向量，则称 $|\alpha||\beta|\cos<\alpha, \beta>$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积，记作 $(\alpha, \beta)$

若 $\alpha, \beta$ 中有一个是零向量，则 $(\alpha, \beta) = 0$
$|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}$
若 $\alpha \not= 0, \beta \not= 0$，则 $\cos<\alpha, \beta> = \frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}$
$\alpha \perp \beta$ 的充要条件是 $(\alpha, \beta) = 0$

  • 定理：对任意向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 及任意实数k，有
    • (1)$(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$
    • (2)$(\alpha + \beta, \gamma) = (\alpha, \gamma) + (\beta, \gamma)$
    • (3)$(k \alpha, \beta) = k(\alpha, \beta)$
    • (4)$(\alpha, \alpha) \geq 0$; $(\alpha, \alpha) = 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$

外积

  • 定义：$\alpha$ 与 $\beta$ 的外积是一个向量，记作 $\alpha \times \beta$，其长度 $$|\alpha \times \beta| = |\alpha||\beta|\sin<\alpha, \beta>$$ 其方向与 $\alpha, \beta$ 垂直，并按 $\alpha, \beta, \alpha \times \beta$ 构成右手系 $[O; \alpha, \beta, \alpha \times \beta]$

若 $\alpha \not= 0, \beta \not= 0$，$\alpha$ 与 $\beta$ 不共线，则 $|\alpha \times \beta|$ 是以 $\alpha, \beta$ 为邻边的平行四边形的面积
$\alpha | \beta$ 的充要条件是 $\alpha \times \beta = 0$
对任意向量 $\alpha$，有 $\alpha \times \alpha = 0$

  • 定理：对任意向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 及任意实数k，有
    • (1)$\alpha \times \beta = - \beta \times \alpha$
    • (2)$(k \alpha) \times \beta = k(\alpha \times \beta)$
    • (3)$\alpha \times (\beta + \gamma) = \alpha \times \beta + \alpha \times \gamma$, $(\beta + \gamma) \times \alpha = \beta \times \alpha + \gamma \times \alpha$

  • 定义：$\alpha, \beta, \gamma$ 的二重外积是一个向量，记作 $(\alpha \times \beta) \times \gamma$ 或 $\alpha \times (\beta \times \gamma)$，是先将其中两个向量作外积，再将其结果与另一向量作外积

  • 定理(外积公式)：对任意向量 $\alpha, \beta, \gamma$，有 $$\alpha \times (\beta \times \gamma) = (\alpha, \gamma)\beta - (\alpha, \beta)\gamma$$

混合积

  • 定义：$\alpha, \beta, \gamma$ 的混合积是一个实数，记作 $(\alpha \times \beta, \gamma)$ 或 $(\alpha, \beta, \gamma)$，是先将 $\alpha$ 与 $\beta$ 作外积，在将其结果与 $\gamma$ 作内积

  • 定理：$\alpha, \beta, \gamma$ 的混合积的绝对值是表示以 $\alpha, \beta, \gamma$ 为棱的平行六面体的体积，当 $\alpha, \beta, \gamma$ 为右手系是，混合积为正数. 当 $\alpha, \beta, \gamma$ 为左手系时，混合积为负数

$\alpha, \beta, \gamma$ 共面的充要条件是 $(\alpha, \beta, \gamma)=0$
$(\alpha, \beta, \gamma) = (\beta, \gamma, \alpha) = (\gamma, \alpha, \beta), (\alpha \times \beta, \gamma) = (\alpha, \beta \times \gamma)$

  • 定理(Lagrange公式)：对任意向量 $\alpha, \beta, \gamma$，有 $$(\alpha \times \beta, \gamma \times \delta) =
    \left|
    \begin{matrix} (\alpha, \gamma) & (\alpha, \delta) \ (\beta, \gamma) & (\beta, \delta)
    \end{matrix}
    \right|
    $$

平面及其方程

空间一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$，不共线的向量 $\alpha_1 = (x_1, y_1, z_1), \alpha_2 = (x_2, y_2, z_2)$ 确定平面 $\pi$

  • 点 $M(x, y, z) \in \pi$ 的充要条件是 $ \overrightarrow{M_0M}$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 共面，即 $\overrightarrow{M_0M} = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$
    • 平面 $\pi$ 的参数方程
      $$
      \begin{cases}
      x = x_0 + k_1 x_1 + k_2 x_2 \
      y = y_0 + k_1 y_1 + k_2 y_2 \
      z = z_0 + k_1 z_1 + k_2 z_2
      \end{cases}
      $$

  • 由 $\overrightarrow{M_0M}, \alpha_1, \alpha_2$ 共线，
    $$
    \left|
    \begin{matrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2
    \end{matrix}
    \right| = 0
    $$

    • 平面 $\pi$ 的一般方程 $$Ax + By + Cz + D = 0$$ 其中
      $$
      A = \left| \begin{matrix} y_1 & z_1 \ y_2 & z_2 \end{matrix} \right|,
      B = - \left| \begin{matrix} x_1 & z_1 \ x_2 & z_2 \end{matrix} \right|
      $$
      $$
      C = \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \end{matrix} \right|,
      D = - (A x_0 + B y_0 + C z_0)
      $$

A, B, C 不全为零

  • 定理：在仿射坐标系 $[O;e_1, e_2, e_3]$ 中，平面可用三元一次方程表示；反之，任意一个三元一次方程表示一个平面

  • 定理：在仿射坐标系 $[O;e_1, e_2, e_3]$ 中，设平面 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 的方程分别为 $\pi_1 : A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ 和 $A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$，则

    • (1)$\pi_1$ 与 $\pi_2$ 相交的充要条件是 $A_1 : B_1 : C_1 \not= A_2 : B_2 : C_2$
    • (2)$\pi_1$ 与 $\pi_2$ 平行的充要条件是 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \not= \frac{D_1}{D_2}$
    • (3)$\pi_1$ 与 $\pi_2$ 重合的充要条件是 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

空间一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$，平面 $\pi$ 的法向量 $\overrightarrow{n} = (A, B, C)$

  • $M(x, y, z) \in \pi$ 的充要条件是 $\overrightarrow{M_0M} \perp \overrightarrow{n}$，即 $(\overrightarrow{M_0M}, \overrightarrow{n}) = 0$
    • 过点 $M_0$ 且法向量为 $\overrightarrow{n}$ 的平面 $\pi$ 的方程 $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
    • $Ax + By + Cz + D = 0$，其中 $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$

空间直线及其方程

  • 点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 和 非零向量 $\overrightarrow{v} = (X, Y, Z)$ 确定的直线 $l$ 的参数方程：
    $$\begin{cases} x = x_0 + kX \ y = y_0 + kY \ z = z_0 + kZ \end{cases}$$

  • 直线 $l$ 的标准方程：$$\frac{x - x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}$$

  • 直线可看作两平面的交线，平面 $\pi_1 : A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ 与 $\pi_2 : A_2 x + B_2 y + C_2 + D_2 = 0$ 的交线为 $l$，故直线 $l$ 的一般方程
    $$\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \ A_2 x + B_2 y + C_2 + D_2 = 0 \end{cases}$$

直线的方向向量 $$\big( \left| \begin{matrix} B_1 & C_1 \ B_2 & C_2 \end{matrix} \right|, \left| \begin{matrix} C_1 & A_1 \ C_2 & A_2 \end{matrix} \right|, \left| \begin{matrix} A_1 & B_1 \ A_2 & B_2 \end{matrix} \right| \big)$$

引用

  1. 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社