多项式与复系数和实系数多项式的因式分解

定义：设K是一些数组成的集合，若
1. K中至少含有一个非零的数
1. 对K中任意两数a, b, 恒有 $a+b$, $a-b$, $ab \in K$, 而且当 $b \not= 0$ 时，还有 $\frac{a}{b} \in K$，则K称为一个数域

数域对加，减，乘，除(除数非零)四种运算封闭

设K是数域，x是一个符号(文字)
定义：形式表达式 $f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0$ 其中n是非负整数，$a_i \in K$，称为数域K上的一元多项式，$a_i$ 称为它的第i个系数
- 若 $a_i = 0(i = 0, 1, 2, …, n)$，则称f(x)是零多项式，记作$f(x)=0$，其次数不予定义
- 若n是使 $a_n \not= 0$ 的最大整数，则称非f(x)是n次的，记作 deg$f(x)$=n

数域K上所有一元多项式的集合用 $K[x]$ 表示

符号 $x \not\in K$，不受任何限定，常称未定元

定义：设 $p(x) \in K[x]$，deg$p(x) \geq 1$，若 $p(x)$ 不能表示为 $K[x]$ 中两个次数小于 deg$p(x)$ 的多项式的乘积，则称 $p(x)$ 在 $K[x]$ 中是不可约多项式. 否则称 $p(x)$ 在 $K[x]$ 中是可约多项式.
定理(因式分解唯一性定理)：设 $f(x)$ 是 $K[x]$ 中正次数的多项式，则 $f(x)$ 可唯一(除次序外)分解成乘积 $f(x) = p_1(x) p_2(x)…p_n(x)$，其中 $p_i(x) \in K[x]$ 是不可约多项式

定理(代数基本定理)：设 $f(x) \in C[x]$，且 deg$f(x) \geq 1$，则 $f(x)$ 在C(复数域)中有根
等价说法：
1. 若 $f(x) \in C[x]$，则 $f(x)$ 有一次因式
1. 若 $f(x) \in C[x]$，则 $f(x)$ 不可约的充要条件是 deg$f(x)$ = 1
定理：设 $f(x) \in C[x]$，deg$f(x) \geq 1$，则 $f(x)$ 在 C 上总可以分解为一次因式的乘积 $f(x) = a(x - a_1)^{r_1}(x - a_2)^{r_2}…(x - a_s)^{r_s}, (a, a_i \in C)$
- 设n次多项式 $f(x)$ 有根 $a \in C$，由 $(x - a)|f(x)$，因而 $f(x) = (x - a)f_1(x)$，这里 deg$f_1(x) = n-1$；继续进行下去即得 $f(x)$ 在C中恰有n个根，由此证得
引理：设 $f(x) \in R[x]$，$a \in C$ 为 $f(x)$ 的根，则复共轭 $\overline a$ 也是 $f(x)$ 的根
定理：设 $f(x) \in R[x]$，deg$f(x) \geq 1$，则 $f(x)$ 在R上总可以唯一分解为一次和二次不可约因式之积 $f(x) = a(x - c_1)^{l_1}…(x - c_s)^{l_s}(x^2 + p_1x + q_1)^{k_1}…(x^2 + p_rx + q_r)^{k_r}$，其中 a 为 $f(x)$ 的首项系数，$p_j^2 - 4q_j < 0, j = 1, 2, …, r$

定义：设 $f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0 \in Z[x]$，若 $a_0, a_1, …, a_n$ 互质，则称 $f(x)$ 为本原多项式

f(x)是本原的，则 -f(x) 也是本原的

引理：设 $f(x) \in Q[x]$，则存在 $r \in Q$ 及本原多项式 $g(x)$ 使 $f(x) = r g(x)$，且r与 $g(x)$ 除差一个正负号外是唯一的.
引理(Gauss定理)：本原多项式之积仍为本原多项式
定理：设 $f(x) \in Z[x]$，若 $f(x)$ 可分解为 Q[x] 中r, s($\not=0$)次多项式的乘积，则 $f(x)$ 可分解为 Z[x] 中r, s次多项式的乘积
推论：设 $f(x), g(x) \in Z[x]$，其中 $g(x)$ 是本原多项式，若 $f(x) = g(x)h(x)$，且 $h(x) \in Q[x]$，则 $h(x) \in Z[x]$
定理：设 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \in Z[x]$，而 $\frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，(r, s)=1，则 $r|a_0$, $s|a_n$(整除)；特别地，若 $f(x)$ 是首一多项式，则 $f(x)$ 的有理根为整数，而且是 $a_0$ 的因子

(x, y)=1 : 表示x和y的最大公约数为1
x|y : 表示x整除y
首一多项式：首项系数为1的多项式(一元多项式中次数最高的项称为首项)

定理(Eisenstein判别法)：设 $f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \in Z[x]$，若存在质数p使 $p \not | a_n; p | a_i, i = 0, 1, …, n-1, p^2 \not | a_0$，则 $f(x)$ 在 Q[x] 中不可约