行列式与克拉默(Cramer)规则

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矩阵

  • 定义：数域K中mn个数 $a_{ij}, (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)$排成的数表

$$ A =
\left[
\begin{matrix}
a{11} & a{12} & … & a{1n} \
a{21} & a{22} & … & a{2n} \
. & . & & . \
. & . & & . \
. & . & & . \
a{m1} & a{m2} & … & a{mn}
\end{matrix}
\right]
$$
称为K上的 m*n 矩阵；也为 $A = (a{ij}){m * n}$ 或 $A = A{m * n}$. $a{ij}$ 称为A的第i行第j列元素；一般用大写字母表示矩阵，小写字母表示矩阵中的元素，横的有序数组 $(a{i1}, a{i2}, …, a{in})$ 称为A的第i行，纵的有序数组 $\left[
\begin{matrix}
a{1j} \
. \
. \
. \
a{mj}
\end{matrix}
\right]$ 称为A的第j列. K上所有 mn矩阵的全体记为 $K^{mn}$ 或 $M_{m, n}(K)$

行列式的性质

  • (1)行列式对行有多重线性性，即
    $$ det
    \left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
    a    {i - 1} \ k a_i + t ai^{*} \
    a    {i+1} \ . \ . \ . \ a_n
    \end{matrix} \right)
    = k\ det \left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
    a    {i - 1} \ ai \
    a    {i+1} \ . \ . \ . \ a_n
    \end{matrix} \right)
  • t\ det \left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
    a    {i - 1} \ ai^{*} \
    a    {i+1} \ . \ . \ . \ a_n
    \end{matrix} \right)
    $$
    这里 $k, t \in K, a_i, a_i^{*} \in K^n, i = 1, 2, …, n$

  • (2)行列式对行有交错性，即行列式中若有两行相同，则行列式为零

  • (3)互换行列式的两行，则行列式变号

  • (4)将行列式某一行的k倍加到另一行上去，行列式不变

  • (5)行列式中某一行的公因子k可以提到行列式外面，即
    $$ det \left( \begin{matrix} . \ . \ . \ k a_i \ . \ . \ . \end{matrix} \right) = k\ det \left( \begin{matrix} . \ . \ .\ a_i \ . \ . \ . \end{matrix} \right)$$

  • (6)行列式中若有两行成比例，则行列式为0

  • (7)设 $A = (a{ij}){n*n}$，则 $det(A) = det(A^{T})$

行列式的展开

  • 定义：设 $A = (a{ij}){n*n}$，划去 $det(A)$ 中元素 $a{ij}$ 所在的行及列后所得到的 (n-1) 阶子式 $M{ij}$ 称为 $a{ij}$ 的余子式，而 $A{ij} = (-1)^{i + j}M{ij}$ 称为 $a{ij}$ 的代数余子式

  • 定理：设 $A = (a{ij}){n*n}$，则 $$det(A) = a{i1}A{i1} + a{i2}A{i2} + … + a{in}A{in}$$ 及 $$det(A) = a{1j}A{1j} + a{2j}A{2j} + … + a{nj}A{nj}$$ 以上两式分别称为 $det(A)$ 按第i行展开及按第j列展开.

  • 定理：设 $A = (a{ij}){n*n}$，则 $$a{j1}A{i1} + a{j2}A{i2} + … + a{jn}A{in} = 0, i \not= j$$ 及 $$a{1j}A{1i} + a{2j}A{2i} + … + a{nj}A{ni}, i \not= j$$

  • 定理(Laplace定理)：若在n阶方阵A中任意取定某k行 $1 \leq i_1 < i_2 < … < ik \leq n$，则由这k个行中所有k阶子式及其代数余子式的乘积之和为 $det(A)$，即 $$det(A) = \sum{j_1 j_2 … jk}(-1)^{\sum{t=1}^{k}(i_t + j_t)} detA[i_1i_2…i_k | j_1j_2…j_k]detA(i_1i_2…i_k | j_1j_2…j_k)$$ 其中求和遍及所有 $1 \leq j_1 < j_2 < … < j_k \leq n$.

克拉默(Cramer)规则

  • n个未知数的线性方程组①
    $$
    \begin{cases}
    a_{11}x1 + a{12}x2 + … + a{1n}x_n = b1 \
    a    {21}x1 + a{22}x2 + … + a{2n}x_n = b2 \
    …… \
    a    {n1}x1 + a{n2}x2 + … + a{nn}x_n = b_n
    \end{cases}
    $$

  • 定理：设线性方程组①的系数矩阵 $A = (a_{ij})$ 的行列式 $det(A) = D \not= 0$，则①存在唯一解 $$x_j = \frac{D_j}{D}, \ \ \ j = 1, 2, …, n$$ 这里 $D_j$ 是把A的第j列换成①的常数项后所得的矩阵的行列式，且$$Dj = \sum{k=1}^{n}bkA{kj}, \ \ \ j = 1, 2, …, n$$

  • 推论：设①为齐次线性方程组，若 $det(A) \not= 0$，则①只有零解

    • 因 $D_1 = D_2 = … = D_n = 0$

引用

  1. 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社