矩阵
- 定义：数域K中mn个数 aij,(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的数表
$$ A =
\left[
\begin{matrix}
a{11} & a{12} & … & a{1n} \
a{21} & a{22} & … & a{2n} \
. & . & & . \
. & . & & . \
. & . & & . \
a{m1} & a{m2} & … & a{mn}
\end{matrix}
\right]
$$
称为K上的 m*n 矩阵；也为 $A = (a{ij}){m * n}或A = A{m * n}.a{ij}称为A的第i行第j列元素；一般用大写字母表示矩阵，小写字母表示矩阵中的元素，横的有序数组(a{i1}, a{i2}, …, a{in})称为A的第i行，纵的有序数组\left[
\begin{matrix}
a{1j} \
. \
. \
. \
a{mj}
\end{matrix}
\right]$ 称为A的第j列. K上所有 mn矩阵的全体记为 $K^{mn}或M_{m, n}(K)$
行列式的性质
- (1)行列式对行有多重线性性，即
$$ det
\left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
a{i - 1} \ k a_i + t ai^{*} \
a{i+1} \ . \ . \ . \ a_n
\end{matrix} \right)
= k\ det \left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
a{i - 1} \ ai \
a{i+1} \ . \ . \ . \ a_n
\end{matrix} \right)
- t\ det \left( \begin{matrix} a1 \ . \ . \ . \
a{i - 1} \ ai^{*} \
a{i+1} \ . \ . \ . \ a_n
\end{matrix} \right)
$$
这里 $k, t \in K, a_i, a_i^{*} \in K^n, i = 1, 2, …, n$
(2)行列式对行有交错性，即行列式中若有两行相同，则行列式为零
(3)互换行列式的两行，则行列式变号
(4)将行列式某一行的k倍加到另一行上去，行列式不变
(5)行列式中某一行的公因子k可以提到行列式外面，即
det(. . . kai . . .)=k det(. . . ai . . .)(6)行列式中若有两行成比例，则行列式为0
(7)设 $A = (a{ij}){n*n}，则det(A) = det(A^{T})$
行列式的展开
定义：设 $A = (a{ij}){n*n}，划去det(A)中元素a{ij}所在的行及列后所得到的(n−1)阶子式M{ij}称为a{ij}的余子式，而A{ij} = (-1)^{i + j}M{ij}称为a{ij}$ 的代数余子式
定理：设 $A = (a{ij}){n*n}，则$det(A) = a{i1}A{i1} + a{i2}A{i2} + … + a{in}A{in}及det(A) = a{1j}A{1j} + a{2j}A{2j} + … + a{nj}A{nj}$$ 以上两式分别称为 $det(A)$ 按第i行展开及按第j列展开.
定理：设 $A = (a{ij}){n*n}，则$a{j1}A{i1} + a{j2}A{i2} + … + a{jn}A{in} = 0, i \not= j及a{1j}A{1i} + a{2j}A{2i} + … + a{nj}A{ni}, i \not= j$$
定理(Laplace定理)：若在n阶方阵A中任意取定某k行 $1 \leq i_1 < i_2 < … < ik \leq n，则由这k个行中所有k阶子式及其代数余子式的乘积之和为det(A)，即$det(A) = \sum{j_1 j_2 … jk}(-1)^{\sum{t=1}^{k}(i_t + j_t)} detA[i_1i_2…i_k | j_1j_2…j_k]detA(i_1i_2…i_k | j_1j_2…j_k)$$ 其中求和遍及所有 $1 \leq j_1 < j_2 < … < j_k \leq n$.
克拉默(Cramer)规则
- n个未知数的线性方程组①
$$
\begin{cases}
a_{11}x1 + a{12}x2 + … + a{1n}x_n = b1 \
a{21}x1 + a{22}x2 + … + a{2n}x_n = b2 \
…… \
a{n1}x1 + a{n2}x2 + … + a{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$
定理：设线性方程组①的系数矩阵 A=(aij) 的行列式 det(A)=D≠0，则①存在唯一解 xj=DjD, j=1,2,…,n 这里 Dj 是把A的第j列换成①的常数项后所得的矩阵的行列式，且$$Dj = \sum{k=1}^{n}bkA{kj}, \ \ \ j = 1, 2, …, n$$
推论：设①为齐次线性方程组，若 det(A)≠0，则①只有零解
- 因 D1=D2=…=Dn=0
引用
- 《高等代数与解析几何》，王心介，科学出版社