前述命题逻辑(古典命题逻辑)存在以下特征：
每一变项和公式至少在二值(真或假)中取其一
每一变项和公式至多在二值(真或假)中取其一
公式的值完全取决于其中变项的值
- 非古典命题逻辑，如：
- 多值逻辑
- 模态逻辑
- 构造性逻辑
各种符号体系
- 除变项外命题逻辑使用的符号有两大类：联结词和作分组用的符号
联结词
符号分组方法
根据联结词的结合力或分离力的强度
用括号分组
用句点分组
无括号分组
不同的重言式系统
最早的公理系统：十九世纪末叶的弗雷格(G.Frege. 《概念语言》, 1879)
- 初始联结词：否定和蕴涵
- 六个公理(不独立的)
- 不是完全严格的公理系统
只有一个初始联结词的公理系统
- 五个基本联结词中可以证明：
- 没有 ¬ 不能表达全部真值函项
- 只用 ¬ 和 $\leftrightarrow$ 也不能表达全部真值函项
能作初始联结词的只有三组：
- ¬ 和 $\bigvee$ (参考书的系统(重言式公理系统)和罗素的系统)
- ¬ 和 $\rightarrow$ (弗雷格的系统)
- ¬ 和 $\bigwedge$
二十世纪初叶引入两个新联结词：或非、与非(沙弗 H.M.Sheffer, 1913)
- 任一个都能单独作为命题演算的出发点
- 只用一个公理
初始联结词和公理数目少，但直观上不易理解，证明定理复杂
五个初始联结词的公理系统：希尔伯特·贝奈斯 Hilbert·Bernays, 1934 《数学基础》
- 五个公理：蕴涵、合取、析取、等值、否定
以公理图式为出发点的系统：以语法语言表示的图式为出发点
多值逻辑
不同于二值逻辑(非真即假)，一命题可以有三值、四值、五值，乃至可数无穷多值
二十世纪二十年代，卢凯西维奇和波斯特(E.L.Post)提出三值逻辑：真、假、可能
- 为了解决亚里士多德关于未来偶然性的问题
- 任意有穷多个值的逻辑系统
- 值可以用自然数/0至1间一切有理数代表
多值逻辑的解释
解释不是唯一的，不同场合可以有不同解释
- 三值逻辑的解释
- 0 : 已知为真
- 1 : 可能为真
- 2 : 已知为假
五值逻辑的解释
- 0 : 根据已有证据可知为真
- 1 : 根据已有证据可知其真的概率为3/4
- 2 : 根据已有证据可知其真的概率为1/2
- 3 : 根据已有证据可知其真的概率为1/4
- 4 : 根据已有证据可知其假
可数无穷多值
- 0 : 真
- 1 : 假
- $frac{m}{n}, (0 < \frac{m}{n} < 1)$ 不同程度的概率 $1 - \frac{m}{n}$
多值逻辑的真值函项和联结词
- n值的m元真值函项有 $n^{n^m}$ 个
多值逻辑里的重言式，特指值
- 可断定的值：特指值
模态逻辑
必然性和可能性是事物和认识的模态
- 反映必然性和可能性的命题也具有共同的形式结构
- p是必然的
- q是可能的
- r是不可能的
数理逻辑中真值函项，包括真值蕴涵，只是命题间真假关系的抽象，并未将模态关系或必然联系包括在内
关于真值蕴含有重言式 $p \rightarrow q \leftrightarrow ¬p \bigvee q$
p和q可能有联系
真值蕴涵的悖论：
- $p \rightarrow (q \rightarrow p)$ : 真命题被任何命题所真值蕴涵
- $¬p \rightarrow (p \rightarrow q)$ : 假命题真值蕴涵任何命题
严格蕴涵：反映命题间的必然联系
- 模态逻辑的系统；严格蕴涵系统
引用
- 《数理逻辑引论》，王宪钧，北京大学出版社