- 命题逻辑: 在研究考察逻辑形式时把一个命题只分析到其中所含的命题成分为止
- 不把简单命题再分析为非命题成分的结合
- 不把谓词和量词等等非命题成分分析出来
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不需要对p和q所代表的命题作进一步的分析，推理的正确性就可以显示出来
联结词的逻辑: “如果…那么…”，“…并且…”，“…或…”等
复合命题 复合命题的真假
命题：由词项或者命题组成
复合命题：由联结词和命题组成的
支命题：组成复合命题的那些命题
例：
- 复合命题：如果|x|小于正实数c，则-c小于x并且x小于c
- 支命题：
|x|小于正实数c
-c小于x
- x小于c
联结词：把几个命题联结起来而构成一复合命题的词项
- 如果…，则…
- …并且…
- …或…
- 既不…又不…
- …当且仅当…
复合命题的真假由支命题的真假间接决定
例：p并且q 若有一个为假则为假
支命题的真假可以决定复合命题的真假，但不能完全决定复合命题的真假
例如: 2+2=4并且雪是白的
两支命题者之间不存在明显的联系
真值联结词 真值形式
- 支命题的真假不能完全决定复合命题的真假，支命题之间还要有一定的联系
- 支命题之间的联系多样、复杂、丰富
有属于逻辑学的对象和不属于逻辑学的范围
不属于逻辑范围的联系不必包括在逻辑的概括之内
- 某些属于逻辑的范围的联系不可能被包括在一个逻辑概括中
- 依具体内容和场合而定
最一般的联系是支命题之间的真假关系：将支命题之间的真假关系抽象和概括出来，只从支命题的真假考虑复合命题的真假
真值联结词：反映复合命题与支命题之间的真假关系的联结词
- 不同于自然语言中的联结词
- 用特定的符号表达
真值形式：与复合命题相当的由真值联结词构成的形式结构
- 真值联结词构成的复合命题的形式结构
真值表：表达命题逻辑的公式的真值形式的图表
真值蕴含：假言命题
$p \rightarrow q$
- 前件p是后件q的充分条件
- 前件真而后件假是假言命题是假的，其他情况下可以是真的
例：如果2+2=4则雪是白的
前后件都为真，整句话没意义
意义的联系是具体内容的联系，不可能用一个公式确定
抛开意义问题，只从真假关系层次抽象
- 真值形式只是复合命题的支命题之间的真假关系的抽象和概括
五个基本真值联结词
- 蕴含(如果…那么…)
- 合取(…并且…)
- 析取(…或…)
- 等值(…当且仅当…)
- 否定(并非…)
对应的真值形式：蕴含式、合取式、析取式、等值式、否定式
蕴含：即真值蕴含- $p \rightarrow q$
- 如果p那么q
- p蕴涵q
合取- $p \bigwedge q$
- p且q
析取- $p \bigvee q$
- p或q
- 相容的析取(inclusive or)
- 不相容的析取(exclusive or)：数理逻辑中的析取
等值- $p \leftrightarrow q$
- p当且仅当q
- 如果p则q；如果非p则非q
否定- $¬p$
- 非p
命题形式
复合命题是复合命题的支命题之间真假关系的概括
真值形式是命题逻辑所要研究的复合命题形式
各种复合的命题形式： 五个基本真值形式的组合
例：
- $¬(p \bigwedge q)$: 并非，p并且q
- $¬p \rightarrow ¬q$: 如果非p那么非q
- $(p \bigvee q) \rightarrow r$: 如果p或q，那么r
- $p \bigvee ¬p$: p或非q
$(p \bigwedge q) \leftrightarrow (q \bigwedge p)$: p并且q，等价于q并且p
如何用真值表分析复合命题 如何求复合命题的形式
复合命题无论多任何复杂都有其形式结构，有相应的真值形式
- 确定支命题：不同支命题代以不同的命题变项，相同的支命题代以相同的命题变项
撇开支命题具体内容的联系，只从真假关系考虑联系，用五个基本真值联结词表示
例：
- 必要条件假言命题
- 只有a能被2整除，a才能被4整除(a为任意整数)
- 只有p才q
- 等于
- 如果a不能被2整除，那么a不能被4整除
- 如果非p那么非q
- $¬p \bigwedge ¬q$
不相容的析取命题
- 要么a > 0，要么a <= 0(a为任意有理数)
- 等于
- 或者a > 0，或者a <= 0，但不能二者都真
- 或者p，后者q，但并非，p且q
- $(p \bigvee q) \bigwedge ¬(p \bigwedge q)$
真值表方法
真值表方法： 给出一复杂形式的真值
- 找出给定(命题)形式的所有变项，列举变项的各种取值组合
- 根据构成过程由简而繁列举出一个形式的各个组成部分
- 计算每个组成部分的真值
真值函项 重言的真值函项 重言式
函数
真值：真/假(二值逻辑)
真值函项：一个其本身的值是真值，其自变元所取的值也是真值的函数
真值函项的种类
- 不同的真值形式可以表示相同的真值函项
- 种类多少取决于真值函项中所含的变项数量，取决于变项所代表的支命题有多少
n个命题的真假情况：$2^n$种
n个支命题的各种真值函项：$2^{2^n}$种
| p | $f_1(p)$ | $f_2(p)$ | $f_3(p)$ | $f_4(p)$ |
|---|---|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 | 真 | 假 |
- 第一个真值函项$f_1(p)$总是真的
- 如排中律 $p \bigvee ¬p$
第四个真值函项$f_4()p$总是假的
- 如 $p \bigwedge ¬p$
不同的真值函项可以分成三大类
- 常真的：重言的真值函项
- 时真时假
- 常假的
重言的真值函项是其值常为真的真值函项
重言的真值形式是其值常真的真值形式
重言式是重言的真值形式的简称
推理的形式结构
重言式是关于真值联结词的逻辑规律，也是关于复合命题的逻辑规律
重言式反映客观世界的一些简单关系的逻辑特征
- 推理的形式结构
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- 正确的推理形式
- $((p \rightarrow q) \bigwedge p) \rightarrow q$为重言式
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- 正确的推理形式
- $((p \rightarrow q) \bigwedge ¬q) \rightarrow ¬p$为重言式
每一个正确的推理形式都相当于一个重言式
判别一推理形式是否正确就是要判别其相当的蕴含式是不是一个重言式
简化的真值表方法 正确推理形式的判定
为了说明一蕴含式常真，证明无论变项取什么值公式都不会是假的
归谬法：前件真而后件假是不可能的
例：
$((p \rightarrow q) \bigwedge ¬q) \rightarrow ¬p$是重言式
此公式的前件$(p \rightarrow q) \bigwedge ¬q$真
而后件 $¬p$假 是不可能的
设后件 $¬p$假，则 $p$真
但要求 前件 $(p \rightarrow q) \bigwedge ¬q$
亦即 $p \rightarrow q$ 和 $¬q$ 都真
在 $p$真的条件下 二者不可得兼
矛盾
推理形式的分析和判定:
推理都有前提和结论，前提和结论都有形式结构
- 用合取把前提的形式联结起来成为一个复合的命题形式A
- 找出结论的形式B
- 蕴含式$A \rightarrow B$是重言式则推理形式是正确的
重言的等值式
重言的等值式 $A \rightarrow B$，断定其左右两端A和B等值
例：
$(p \bigwedge q) \leftrightarrow (q \bigwedge p)$
重要的重言等值式:
- $p \rightarrow ¬¬p$：双重否定原则
- $¬(p \bigvee q) \leftrightarrow (¬p \bigwedge ¬q)$：德摩根定理
- $¬(p \bigwedge q) \leftrightarrow (¬p \bigvee ¬q)$：德摩根定理
- $¬(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \bigwedge ¬q)$
- $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (¬p \bigvee q)$
- $(p \bigwedge q) \leftrightarrow ¬(¬p \bigvee ¬q)$
- $(p \leftrightarrow q) \leftrightarrow ((p \rightarrow q) \bigwedge (q \rightarrow p))$
引用
- 《数理逻辑引论》，王宪钧，北京大学出版社